Nakajima 箭图代数簇学习笔记 - 二又四分之一

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本系列文章将会是 Ginzburg 的 Lectures on Nakajima’s Quiver Varieties 的学习笔记. 上一篇: Nakajima 箭图代数簇学习笔记 - 二

这篇和下一篇文章会具体讨论 Schur 根和相关结论, 会是两篇数学史风格的笔记. 虽然这个概念在后面的用处很少, 但它在逻辑链条上的位置是不能缺失的, 同时相关结论的几何想法, 尤其是各种关于维数的计算在后面也有广泛的使用, 所以我还是决定写下来.

Schur 根的定义相当简单: 对于斜率为 的稳定表示 , 由于它是某个满子 Abel 范畴中的单对象, 根据 Schur 引理我们知道 . 一般的, 对于满足 的表示 , 我们称它是一个 Schur 表示. 对应的维数向量 被称为 Schur 向量. 由于 Schur 表示一定是不可分解的, 所以 Schur 向量都是根, 因此也被称为 Schur 根.

但是为了真正理解它的几何含义, 我们需要一路把它的祖坟都刨出来.

下文我们将会讨论很多 “一般表示”, 它的含义是: 如果一个性质 对于某个维数向量 的表示空间 中的一个非空 Zariski 开集成立, 那么我们就称 对于维数向量 的一般表示成立.

Kac I (1980)

不可分解模的刻画

幂零元角度

如果 是一个有限长 (Noether + Artin) 的模, 并且 , 那么我们有一条升链和一条降链根据有限长的假设, 这两条链最终都会稳定下来, 也就是说存在 使得随后不难证明 和 , 故因此, 如果 是不可分解的, 那么对于任意 , 要么 是双射, 要么 是幂零的. 这就是著名的 Fitting 引理.

下面我们设 中所有幂零元的集合为 . 我们来证明这是唯一的极大理想.

  • 设 , 那么 对于某个 . 假设 使得 不是幂零的, 那么 可逆, 即存在 使得 . 于是与 矛盾, 所以 .
  • 设 . 假设 不是幂零的, 那么 可逆, 即存在 使得 . 于是 有逆元即 可逆, 与刚才证明的结论矛盾. 所以 .
  • 由于 已经包含了所有不可逆元, 所以它是唯一的 (左/右/双边) 极大理想. 特别的, 是一个 (可能非交换的) 局部环.

反之, 如果 可分解, 那么投影算子 和 既不可逆又不幂零. 因此, 是不可分解的当且仅当 里面的不可逆元都幂零.

分裂环面角度

固定域 . 对于箭图 和维数向量 , 以及表示 , 不难证明现在取 的极大分裂环面 . 它给出了 的一个权空间分解由于 中的元素都是自同构, 它们与箭头上的映射交换, 所以每个 都是 的子表示. 因此 是 -表示的直和分解. 因此, 若 不可分解, 那么 只能是一维的 .

反之, 若 可分解, 设 , 那么我们至少可以构造一个二维的分裂环面它严格包含 作为对角部分. 因此我们得到了一个刻画不可分解模的条件:

Proposition. 对于 , 不可分解当且仅当 的极大分裂环面是 , 即 的极大分裂环面是平凡的.

推广的 Gabriel 定理

经典的 Gabriel 定理 (1972) 告诉我们: 对于一个 Dynkin 箭图 , 它的不可分解表示的维数向量正好是 的正根, 并且每个正根对应唯一一个不可分解表示. 特别的, 不可分解表示的维数与 的定向选取无关. 我们学到的使用反射函子的证明是在 1973 年, 由 Bernstein, Gelfand 和 Ponomarev 给出. 证明利用了几个关键性质:

  1. Dynkin 图都是树, 所以存在源和汇, 并且可以通过适当的顺序构造出 Coxeter 元素;
  2. Coxeter 元素不停作用, 会把不可分解表示的维数降为单根;
  3. Weyl 群在根系上的作用是可迁的 (对于长度相同的根).

对于不 Dynkin 的箭图, 它的不可分解表示肯定有无穷多个了. 但我们依然可以考虑它对应的对称广义 Cartan 矩阵, 以及由此出发构造的 Kac-Moody Lie 代数及其根系.

拿最简单的 型为例, 它是两个顶点 之间有两条边的图 (注意边两端的根的长度是相同的, 不同于 或 ). 赋予定向为 , 我们就得到了两个点的循环箭图. Etingof Problem 6.9.1 中已经完全分类了它的不可分解复表示:

  • , 其中 , , 维数向量为 , 由一个特征值为 的 Jordan 块和一个单位矩阵组成;
  • , 其中 , 维数向量为 , 由一个去掉最后分量和一个在前面补 组成;
  • , 其中 , 维数向量为 , 是 交换顶点和箭头得到的.

类似的, 如果我们选取定向为 , 那么我们得到的是 Kronecker 箭图, 它的不可分解表示有下面几种:

  • , 其中 , , 维数向量为 , 由一个特征值为 的 Jordan 块和一个单位矩阵组成;
  • , 其中 , 维数向量为 , 由一个特征值为 的 Jordan 块和一个单位矩阵组成;
  • , 其中 , 维数向量为 , 由一个去掉最后分量和一个去掉最前分量组成;
  • , 其中 , 维数向量为 , 由一个在前面补 和一个在后面补 组成.

二者的不可分解表示的表现完全相同, 即使它们的定向不能通过反射函子联系起来. 如果你们学过 Kac-Moody 代数, 你们就会知道 的根系是下面这样的:

0®1=(1;0)®2=(¡1;1)±=(0;1)=®1+®2¡®1¡®2¡±

图中蓝色为实根, 红色为虚根, 较大的点为正根, 两个单根为 . 如果我们施加一个剪切变换 , 那么它会把 打到 , 从而整个根系变成往左下-右上方向延伸:

0®1=(1;0)®2=(0;1)±=(1;1)=®1+®2¡®1¡®2¡±

我们惊讶地发现: 无论选择哪种定向, 对于正实根, 都存在唯一的不可分解表示 或 ; 对于正虚根, 都存在一个单参数族的无穷多个不可分解表示 , 其他的维数向量则不存在不可分解表示. 这强烈暗示了 Gabriel 定理在一般箭图上存在推广.

对比 Dynkin 箭图, 一般的箭图有两个显著的不同点:

  1. 箭图可能不是树, 甚至可能没有源和汇, 也就无法构造反射函子;
  2. Weyl 群在根系上的作用不再是可迁的, 只能把实根降为单根, 但无法把虚根降为单根.

通过一些技术手段 (将会在下一篇文章里详细说明), Kac 成功定义了反转一根箭头定向的操作, 从而依然可以考虑反射函子, 绕开了第一个困难. 对于第二个困难, Kac 对虚根做了单独的处理. 由于 Weyl 群可以把虚根变到一个特殊的 “基本区域” 里, 我们只用在这里面考虑. 他首先证明了如果 不是仿射图 (即 ), 那么一般表示都不可分解, 于是不可分解表示的 “参数个数” 就至少是而如果 是仿射图 (即 ), 那么 , 其中 是仿射根. 根据已知的分类结果, 有 . 于是他证明了 Kac 定理:

Theorem (Kac, 1980). 设 是一个代数闭域. 对于任意箭图 , 它的不可分解 -表示的维数向量正好是 的正根, 并且每个正实根对应唯一一个不可分解表示, 每个正虚根对应无穷多个不可分解表示. 其他的维数向量则不存在不可分解表示.

Kac 最后的结果还有一个遗留问题. 对于正实根和非仿射虚根, 它们的一般表示都是不可分解的, 但对于仿射虚根 , 尤其是 的情况, 很多时候一般表示都是可分解的. 比如对于循环箭图 , 当 时, 两个映射的复合一般是可对角化的, 所以一般表示都是 . 什么时候一般表示是不可分解的呢? 这就是 Kac 在第二篇文章里处理的问题.

Kac II (1982)

Ext 群

投射消解

假设 有限. 设它的路径代数为 (定义参考 Etingof Problem 2.8.6), 我们可以据此写出 作为 -双模的投射消解 , 其中映射的构造为可以证明这是一个正合列. 这样一来, 对于任何 -模 (维数向量为 ), 只要施加 , 就能得到给出了 的投射消解. 从而表示范畴 (或等价的, -模范畴 ) 的全局维数不超过 . 这应当视为箭图 本身只有一维骨架而没有更高维关系的代数表现.

Euler 型

现在我们考虑另一个表示 , 维数向量为 . 为了计算 , 我们只需对这个消解应用 , 从导出函子的定义或短正合列出发都能得到长正合列或者说, , . 由于这些都是 -线性空间, 维数的交错和必然为 , 这就告诉我们 Euler 示性数为按照直和展开右侧, 我们会发现实际上只和维数向量 有关, 而与表示 无关. 我们把等式右端的双线性型定义为 Euler 型 (Euler form)这样一来, .

无穷小 (切) 复形

假设 . 我们有最简单的维数关系从 中同时减去两边, 我们得到这件事实际上有几何意义. 刚才得到的复形其实是微分由 定义. 当 时,而 恰好就是作用 的切映射. 那么给出余维数就是非常自然的了.

不可分解模空间的维数

之前我们用 来表示 -维不可分解表示的参数个数. 由于 中每个 -轨道的维数都不超过 , 当 是满足 的正虚根时, 一般表示都是不可分解的, 所以我们自然得到前文的估计显然这对 和 也成立.

之所以我们拿不到精确的等号, 是因为有些表示可能允许更大的稳定子群, 从而轨道的维数也更小. 如果这些表示的余维数无法补偿额外自同构的维数, 那么它们在模空间中就可能形成相同甚至更大的维数. Kac 通过分析每种稳定子群 (由于分裂环面只有数乘, 一般元素只能是一些 Jordan 块的形式, 所以实际上是一些分拆的组合问题) 的可能性, 证明了对于基本区域中的 , 如果 且 是非平凡的幂幺元, 那么于是非平凡的部分都会贡献严格更小的模空间维数. 从而我们得到:

Theorem (Kac, 1982). 对于任意箭图 , 设维数向量 的不可分解表示的模空间的维数为 , 取到该维数的不可约分支个数为 , 那么

Schur 根和典范分解

我们知道若 不可分解, 那么 是局部环, 其唯一的极大理想是幂零元组成的集合. 如果有 , 我们就称 是一个 Schur 表示. 这时稳定子群 只有标量. 如果向量 满足存在一个以 为维数的 Schur 表示, 那么我们称 是一个 Schur 根.

注意到 上的函数 是上半连续的, 并且永远不小于 , 所以对于任意维数向量 , 如果存在 Schur 表示, 那么一般表示都是 Schur 表示.

刚才 Kac 1982 年的定理立刻告诉我们如下推论:

Corollary. 对于任意箭图 , 如果维数向量 的一般表示都是不可分解的, 那么 是 Schur 根.

证明是直接的: 假设 不是 Schur 根, 那么一般表示 的稳定子群至少是二维的, 利用与前文相同精神的估计可以得到而这与 Kac 定理的结论 矛盾.

任何一个表示都可以写成不可分解表示的直和. 对于一个固定的维数向量 , 一个 -维表示 的分解就给出了把 写成根的线性组合的方式 (注意不同的 可能有相同的维数):由于这样的方式数量是有限的, 并且不难证明符合每种分解的 都构成可构造集, 所以我们得到了 的一个有限分层 (stratification). 结合它的不可约性, 其中一定会有唯一的一个分层包含 Zariski 开集. 假设它对应的分解是那么我们就称这是 的 典范分解 (canonical decomposition). Kac 证明了:

Theorem (Kac, 1982). 对于任意箭图 和维数向量 , 给出典范分解当且仅当每个 都是 Schur 根, 并且对任意 , 都有 .

这里我们采用记号由于它们都是上半连续的, 所以最小值会在一般表示上取到.

需要注意的是, 典范分解的结果依赖于 的定向.

下一篇文章我们会继续介绍 Schofield 1992 年在一般表示上的工作, 以及它如何与 King 的稳定性联系起来.