Nakajima 箭图代数簇学习笔记 - 二又四分之一

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本系列文章将会是 Ginzburg 的 Lectures on Nakajima’s Quiver Varieties 的学习笔记. 上一篇: Nakajima 箭图代数簇学习笔记 - 二

这篇和下一篇文章会具体讨论 Schur 根和相关结论, 会是两篇数学史风格的笔记. 虽然这个概念在后面的用处很少, 但它在逻辑链条上的位置是不能缺失的, 同时相关结论的几何想法, 尤其是各种关于维数的计算在后面也有广泛的使用, 所以我还是决定写下来.

Schur 根的定义相当简单: 对于斜率为 的稳定表示 , 由于它是某个满子 Abel 范畴中的单对象, 根据 Schur 引理我们知道 . 一般的, 对于满足 的表示 , 我们称它是一个 Schur 表示. 对应的维数向量 被称为 Schur 向量. 由于 Schur 表示一定是不可分解的, 所以 Schur 向量都是根, 因此也被称为 Schur 根.

但是为了真正理解它的几何含义, 我们需要一路把它的祖坟都刨出来.

下文我们将会讨论很多 “一般表示”, 它的含义是: 如果一个性质 对于某个维数向量 的表示空间 中的一个非空 Zariski 开集成立, 那么我们就称 对于维数向量 的一般表示成立.

Kac I (1980)

不可分解模的刻画

幂零元角度

如果 是一个有限长 (Noether + Artin) 的模, 并且 , 那么我们有一条升链和一条降链根据有限长的假设, 这两条链最终都会稳定下来, 也就是说存在 使得随后不难证明 和 , 故因此, 如果 是不可分解的, 那么对于任意 , 要么 是双射, 要么 是幂零的. 这就是著名的 Fitting 引理.

下面我们设 中所有幂零元的集合为 . 我们来证明这是唯一的极大理想.

  • 设 , 那么 对于某个 . 假设 使得 不是幂零的, 那么 可逆, 即存在 使得 . 于是与 矛盾, 所以 .
  • 设 . 假设 不是幂零的, 那么 可逆, 即存在 使得 . 于是 有逆元即 可逆, 与刚才证明的结论矛盾. 所以 .
  • 由于 已经包含了所有不可逆元, 所以它是唯一的 (左/右/双边) 极大理想. 特别的, 是一个 (可能非交换的) 局部环.

反之, 如果 可分解, 那么投影算子 和 既不可逆又不幂零. 因此, 是不可分解的当且仅当 里面的不可逆元都幂零.

分裂环面角度

固定域 . 对于箭图 和维数向量 , 以及表示 , 不难证明现在取 的极大分裂环面 . 它给出了 的一个权空间分解由于 中的元素都是自同构, 它们与箭头上的映射交换, 所以每个 都是 的子表示. 因此 是 -表示的直和分解. 因此, 若 不可分解, 那么 只能是一维的 .

反之, 若 可分解, 设 , 那么我们至少可以构造一个二维的分裂环面它严格包含 作为对角部分. 因此我们得到了一个刻画不可分解模的条件:

Proposition. 对于 , 不可分解当且仅当 的极大分裂环面是 , 即 的极大分裂环面是平凡的.

推广的 Gabriel 定理

经典的 Gabriel 定理 (1972) 告诉我们: 对于一个 Dynkin 箭图 , 它的不可分解表示的维数向量正好是 的正根, 并且每个正根对应唯一一个不可分解表示. 特别的, 不可分解表示的维数与 的定向选取无关. 我们学到的使用反射函子的证明是在 1973 年, 由 Bernstein, Gelfand 和 Ponomarev 给出. 证明利用了几个关键性质:

  1. Dynkin 图都是树, 所以存在源和汇, 并且可以通过适当的顺序构造出 Coxeter 元素;
  2. Coxeter 元素不停作用, 会把不可分解表示的维数降为单根;
  3. Weyl 群在根系上的作用是可迁的.

对于不 Dynkin 的箭图, 它的不可分解表示肯定有无穷多个了. 但我们依然可以考虑它对应的对称广义 Cartan 矩阵, 以及由此出发构造的 Kac-Moody Lie 代数及其根系.

拿最简单的 型为例, 它是两个顶点 之间有两条边的图 (注意边两端的根的长度是相同的, 不同于 或 ). 赋予定向为 , 我们就得到了两个点的循环箭图. Etingof Problem 6.9.1 中已经完全分类了它的不可分解复表示:

  • , 其中 , , 维数向量为 , 由一个特征值为 的 Jordan 块和一个单位矩阵组成;
  • , 其中 , 维数向量为 , 由一个去掉最后分量和一个在前面补 组成;
  • , 其中 , 维数向量为 , 是 交换顶点和箭头得到的.

类似的, 如果我们选取定向为 , 那么我们得到的是 Kronecker 箭图, 它的不可分解表示有下面几种:

  • , 其中 , , 维数向量为 , 由一个特征值为 的 Jordan 块和一个单位矩阵组成;
  • , 其中 , 维数向量为 , 由一个特征值为 的 Jordan 块和一个单位矩阵组成;
  • , 其中 , 维数向量为 , 由一个去掉最后分量和一个去掉最前分量组成;
  • , 其中 , 维数向量为 , 由一个在前面补 和一个在后面补 组成.

二者的不可分解表示的表现完全相同, 即使它们的定向不能通过反射函子联系起来. 如果你们学过 Kac-Moody 代数, 你们就会知道 的根系是下面这样的:

0®1=(1;0)®2=(¡1;1)±=(0;1)=®1+®2¡®1¡®2¡±

图中蓝色为实根, 红色为虚根, 较大的点为正根, 两个单根为 . 如果我们施加一个剪切变换 , 那么它会把 打到 , 从而整个根系变成往左下-右上方向延伸:

0®1=(1;0)®2=(0;1)±=(1;1)=®1+®2¡®1¡®2¡±

我们惊讶地发现: 无论选择哪种定向, 对于正实根, 都存在唯一的不可分解表示 或 ; 对于正虚根, 都存在一个单参数族的无穷多个不可分解表示 , 其他的维数向量则不存在不可分解表示. 这强烈暗示了 Gabriel 定理在一般箭图上存在推广.

对比 Dynkin 箭图, 一般的箭图有两个显著的不同点:

  1. 箭图可能不是树, 甚至可能没有源和汇, 也就无法构造反射函子;
  2. Weyl 群在根系上的作用不再是可迁的, 只能把实根降为单根, 但无法把虚根降为单根.

通过一些技术手段 (将会在下一篇文章里详细说明), Kac 成功定义了反转一根箭头定向的操作, 从而依然可以考虑反射函子, 绕开了第一个困难. 对于第二个困难, Kac 对虚根做了单独的处理. 他首先证明了如果 不是仿射图 (即 ), 那么一般表示都不可分解, 于是不可分解表示的 “参数个数” 就至少是而如果 是仿射图 (即 ), 那么 , 其中 是仿射根. 根据已知的分类结果, 有 . 于是他证明了 Kac 定理:

Theorem (Kac, 1980). 设 是一个代数闭域. 对于任意箭图 , 它的不可分解 -表示的维数向量正好是 的正根, 并且每个正实根对应唯一一个不可分解表示, 每个正虚根对应无穷多个不可分解表示. 其他的维数向量则不存在不可分解表示.

Kac 最后的结果还有一个遗留问题. 对于正实根和非仿射虚根, 它们的一般表示都是不可分解的, 但对于仿射虚根 , 尤其是 的情况, 很多时候一般表示都是可分解的. 比如对于循环箭图 , 当 时, 两个映射的复合一般是可对角化的, 所以一般表示都是 . 什么时候一般表示是不可分解的呢? 这就是 Kac 在第二篇文章里处理的问题.

Kac II (1982)

Ext 群

投射消解

假设 有限. 设它的路径代数为 (定义参考 Etingof Problem 2.8.6), 我们可以据此写出 作为 -双模的投射消解 , 其中映射的构造为可以证明这是一个正合列. 这样一来, 对于任何 -模 (维数向量为 ), 只要施加 , 就能得到给出了 的投射消解. 从而表示范畴 (或等价的, -模范畴 ) 的全局维数不超过 . 这应当视为箭图 本身只有一维骨架而没有更高维关系的代数表现.

Euler 型

现在我们考虑另一个表示 , 维数向量为 . 为了计算 , 我们只需对这个消解应用 , 从导出函子的定义或短正合列出发都能得到长正合列或者说, , . 由于这些都是 -线性空间, 维数的交错和必然为 , 这就告诉我们 Euler 示性数为按照直和展开右侧, 我们会发现实际上只和维数向量 有关, 而与表示 无关. 我们把等式右端的双线性型定义为 Euler 型 (Euler form)这样一来, .

无穷小 (切) 复形

假设 . 我们有最简单的维数关系从 中同时减去两边, 我们得到这件事实际上有几何意义. 刚才得到的复形其实是微分由 定义. 当 时,而 恰好就是作用 的切映射. 那么给出余维数就是非常自然的了.

不可分解模空间的维数

之前我们用 来表示 -维不可分解表示的参数个数. 由于 中每个 -轨道的维数都不超过 , 所以我们自然得到前文的估计之所以我们拿不到精确的等号, 是因为有些表示可能允许更大的稳定子群, 从而轨道的维数也更小. 如果这些表示的余维数无法补偿额外自同构的维数, 那么它们在模空间中就可能形成相同甚至更大的维数. Kac 通过分析每种稳定子群 (由于分裂环面只有数乘, 一般元素只能是一些 Jordan 块的形式, 所以实际上是一些分拆的组合问题) 的可能性, 证明了如果 且 是非平凡的幂幺元, 那么于是非平凡的部分都会贡献严格更小的模空间维数. 从而我们得到:

Theorem (Kac, 1982). 对于任意箭图 , 设维数向量 的不可分解表示的模空间的维数为 , 取到该维数的不可约分支个数为 , 那么

Schur 根和典范分解

我们知道若 不可分解, 那么 是局部环, 其唯一的极大理想是幂零元组成的集合. 如果有 , 我们就称 是一个 Schur 表示. 这时稳定子群 只有标量. 如果向量 满足存在一个以 为维数的 Schur 表示, 那么我们称 是一个 Schur 根.

注意到 上的函数 是上半连续的, 并且永远不小于 , 所以对于任意维数向量 , 如果存在 Schur 表示, 那么一般表示都是 Schur 表示.

刚才 Kac 1982 年的定理立刻告诉我们如下推论:

Corollary. 对于任意箭图 , 如果维数向量 的一般表示都是不可分解的, 那么 是 Schur 根.

证明是直接的: 假设 不是 Schur 根, 那么一般表示 的稳定子群至少是二维的, 利用与前文相同精神的估计可以得到而这与 Kac 定理的结论 矛盾.

任何一个表示都可以写成不可分解表示的直和. 对于一个固定的维数向量 , 一个 -维表示 的分解就给出了把 写成根的线性组合的方式 (注意不同的 可能有相同的维数):由于这样的方式数量是有限的, 并且不难证明符合每种分解的 都构成可构造集, 所以我们得到了 的一个有限分层 (stratification). 结合它的不可约性, 其中一定会有唯一的一个分层是 Zariski 开集. 假设它对应的分解是那么我们就称这是 的 典范分解 (canonical decomposition). Kac 证明了:

Theorem (Kac, 1982). 对于任意箭图 和维数向量 , 给出典范分解当且仅当每个 都是 Schur 根, 并且对任意 , 都有 .

这里我们采用记号由于它们都是上半连续的, 所以最小值会在一般表示上取到.

需要注意的是, 典范分解的结果依赖于 的定向.

下一篇文章我们会继续介绍 Schofield 1992 年在一般表示上的工作, 以及它如何与 King 的稳定性联系起来.