Nakajima 箭图代数簇学习笔记 - 二

发表于 2026-07-30 分类于数学

本系列文章将会是 Ginzburg 的 Lectures on Nakajima’s Quiver Varieties 的学习笔记. 上一篇: Nakajima 箭图代数簇学习笔记 - 一又三分之二

这一篇的内容是 King 稳定性条件 (2.3 节).

King 稳定性条件

A. King introduced a totally different, purely algebraic, notion of stability for representations of algebras. He then showed that, in the case of quiver representations, his definition of stability is actually equivalent to Mumford’s Definition 2.2.3.

定义与基本性质

背景就不多介绍了. 设是一个箭图, . 选取一个向量 , 对于的一个表示 , 我们定义它的斜率为

我们考虑如下的稳定性条件:

Definition (Definition 2.3.1). 设 . 一个表示被称为 -半稳定的, 如果对于任意非零子表示 , 都有如果严格不等式对任意非零真子表示成立, 则称为 -稳定的. 如果能分解为若干个斜率相同的 -稳定表示的直和, 则称为 -多稳定的.

这样定义的斜率满足所谓的 “跷跷板” 性质:

Proposition (Seesaw). 对于短正合列 , 有

;
;
.

换句话说, 如果一边的斜率比中间低, 那么另一边一定要比中间高. 这也是它名字的由来.

Proof. 记 , 那么 . 之后由糖水原理即得.

结合跷跷板性质, 我们立刻得到 (半) 稳定性的一个关于商表示的等价定义: 一个表示是 -半稳定的, 当且仅当任意商表示的斜率都不小于它; 一个表示是 -稳定的, 当且仅当任意非零真商表示的斜率都大于它.

Jordan-Hölder 分解

如果我们选取 , 那么所有表示的斜率都是 , 所以所有表示都是 -半稳定的, 一个表示是 -稳定的当且仅当它没有非平凡的子表示, 也就是它是单的; 一个表示是 -多稳定的当且仅当它是半单的. 这件事实际上对一般的也成立:

Proposition (Proposition 2.3.5). 对于任意和 , 所有斜率为的 -半稳定表示的满子范畴是一个 Abel 范畴. 其中一个表示是稳定的, 当且仅当它是一个单对象, 一个表示是多稳定的, 当且仅当它是半单对象.

在这里我要狠狠拷打 Ginzburg, 他的这个命题是从 King 那里抄来的, 但他的定义却是照着 Rudakov 的定义来的, 这两者的定义有区别 (参考 Remark 2.3.3), King 额外要求了斜率为 . 能看出 Ginzburg 在证明中也偷偷使用了 , 但是他没有把斜率相同写在条件里. 同时, 他也没有证明关于扩张封闭.

Proof. 设为所有斜率为的 -半稳定表示构成的子范畴. 设是一个短正合列, 且 . 我们来证明 . 显然的斜率也是 . 设是一个子表示, 那么有一个短正合列第一项是的子表示, 所以斜率不大于 ; 第三项是的子表示, 所以斜率也不大于 . 由跷跷板性质, 第二项的斜率也不大于 , 所以 . 这就证明了对扩张封闭.

下面我们证明对取核与余核封闭. 假设有一个同态 , 那么我们能拆出两个短正合列的半稳定性告诉我们和 . 但和的斜率都是 , 所以两个跷跷板都是平的, 即的斜率也都是 .

对于的任何一个子表示 , 它同时也是的子表示, 所以因此是半稳定的. 类似的, 对于的任何一个商表示 , 它同时也是的商表示, 所以因此也是半稳定的. 这就证明了对取核与余核封闭.

利用 Abel 范畴的基本结论, 对于一个半单的表示 , 总可以找到 Jordan-Hölder 分解, 也就是有限个子表示使得每个商表示都是单的, 并且斜率都是 . 我们定义关联分次表示为虽然 Jordan-Hölder 分解不唯一, 但是对于不同的分解, 关联分次表示是同构的.

King 稳定性与 GIT 稳定性

表示空间上的 GIT

设是一个箭图, 是一个非负整数向量, 那么以为维数向量的所有表示的集合可以视为一个仿射空间被群共轭作用:两个表示同构当且仅当它们在中属于同一个轨道.

在这个群当中, 有一个显然的子群 . 它同构于 , 并且永远给出平凡作用. 记这个子群为 .

由于所以即一个特征由一个向量给出. 方便起见, 我们添加一个负号, 记对应的特征为

我们尝试考虑这个作用下, 关于特征的半不变函数. 假设是一个次数为的 -半不变函数, 那么考虑的作用, 对于任意 , 都应该有若 , 那么这强迫 , 从而没有非平凡的 -半不变函数. 所以我们必须要求 . 换句话说, 给出平凡作用的子群必须包含于 .

Mumford 数值判别法

我们其实可以把刚才的操作推广. 设作用在仿射的上, 是一个特征. 对任何一个单参数子群 , 将其复合上特征就能得到一个同态 . 它必然形如 , 我们就称整数为关于的权重, 记为 .

假设是半稳定的, 那么存在 -半不变函数使得 , 设 . 考虑单参数子群的作用, 即可得到如果存在, 那么根据的连续性, 左边的极限必然是一个有限的数. 如果 , 那么右边的极限就会变为 , 矛盾了, 所以只要极限存在, 就必须有 .

Mumford 的一个重要结论是, 这个条件也是充分的:

Theorem (Mumford’s numerical criterion, affine case). 设作用在仿射的上, 是一个特征. 那么:

当且仅当对于任意单参数子群 , 如果极限存在, 那么 ;

当且仅当对于任意单参数子群 , 如果极限存在, 那么 , 并且当时, 极限必须属于 ;

当且仅当对于任意单参数子群 , 如果极限存在, 那么 ;

是 -等价的当且仅当存在单参数子群满足 , 且 .

我们不会证明这件事.

King 与 GIT 的等价

King 定义的稳定性其实是与之前的 GIT 稳定性相容的.

Theorem (Theorem 2.3.7). 对于这样的和 , 有:

表示是 GIT -半稳定 (resp. 多稳定, 稳定) 的当且仅当它是 King -半稳定 (resp. 多稳定, 稳定) 的;
两个表示是 GIT -等价的, 当且仅当它们有相同的关联分次表示 .

我在这里又要拷打 Ginzburg 了: 注意到平凡地作用在上, 所以任何一个表示的稳定子群都不可能是有限的, 自然也不可能存在稳定表示. Ginzburg 这里实际上采用了一个偷懒的说法: 他考虑的其实是群的作用 (这在下面的 Corollary 2.3.8 就能看出), 而为了保证特征能下降到 , 我们才要求 . 具体的道理已经在前面说过了.

证明思路基本就是利用 Mumford 数值判别法, 通过计算单参数子群的权重来证明两者的等价性. 我们只展示半稳定的等价性, 其他的更复杂的证明可以参考 King 的原始论文.

Proof for semi-stability. 假设是 GIT -半稳定的. 对于任意子表示 , 我们选取一个补空间使得 . 设是单参数子群, 它在上的作用是数乘, 在上的作用是平凡. 考虑这个作用在时的极限, 从到的映射会乘上 , 所以会被压缩没, 最终得到根据 Mumford 数值判别法, 我们有 . 计算的定义, 我们得到 , 即 . 由的任意性, 我们得到是 King -半稳定的.

假设是 King -半稳定的. 对于任意单参数子群 , 考虑它的权空间分解我们考虑的作用. 对于从到的映射, 它会被乘上 , 所以如果极限存在, 那么为了不让的这些映射爆炸, 它们在原来的中就必须是 . 也就是说, 权重更大的空间不会被箭头打到权重更小的空间, 因此我们得到了一个子表示滤过此时, 就是这个滤过的关联分次表示.

下面我们计算 . 根据定义, 我们有此时我们用一次 Abel 变换, 注意到只对有限个非零 (太大的直接是零, 太小的是整个 , 但 ), 所以我们有由于每个都是的子表示, 结合 King 半稳定性, 我们有右侧求和的每一项都不大于 , 因此整体添加负号后, 我们得到 . 由 Mumford 数值判别法, 我们得到是 GIT -半稳定的.

King 的模空间

在的情况下, 我们已经知道了 King 稳定性与 GIT 稳定性的等价性, 所以我们可以直接使用 GIT 的结论来构造 King 的模空间. 设是一个箭图, 是一个非负整数向量, 是一个特征, 并且满足 . 那么我们定义

对于一个箭图表示 , 我们知道它的稳定子群是 -代数里的可逆元, 而不可逆元是后者中的 Zariski 闭集, 实维数至少减少 , 因此挖去他们不影响连通性. 也就是说, 稳定子群永远是连通的, 商去同样是. 对于 -稳定的表示, 它在中的稳定子群又要是有限的, 因此只能有的作用自由.

Corollary (Corollary 2.3.8 (i)). 群自由地作用在上, 并且是的一个 Zariski 开子集 (可能为空集).