本系列文章将会是 Ginzburg 的 Lectures on Nakajima’s Quiver Varieties 的学习笔记. 上一篇: Nakajima 箭图代数簇学习笔记 - 一又三分之一
这一篇将会是更多例子的计算.
乘法群作用在线性空间上
不同的权重
(1,1,-1) 的一点后话
上一篇文章里我们讨论过了这个作用. 聪明的你可能会注意到: 如果问题来自原点位于多个轨道的闭包中, 那么直接把原点去掉, 让所有轨道都变成闭轨道不是更好的做法吗?
我们来试一试这样会得到什么. 令 以及作用与上一篇文章相同. 考虑拓扑意义上的商空间 , 它作为集合应该由之前提到的三类点构成: 双曲线轨道, 平面内的轨道, 以及 轴上的轨道. 为了研究商拓扑, 我们需要关注 内有哪些 -不变的开集.
对于第一类点, 它们的拓扑是最简单的: 任一条轨道上的任一个位置都存在一个足够小的开球避开另外两类轨道, 考虑它在 下的轨道, 就可以得到轨道的开邻域, 它们的拓扑依然构成一个 .
第二类点和第三类点的情况则有些复杂. 例如, 对于 平面内的轨道 , 选取其上的点 , 考虑开邻域在 下的轨道, 会得到所有渐近线接近 方向, 且足够接近渐近线的第一类轨道, 以及 在第二类的 上的邻域. 对于第三类, 也就是 轴上的轨道, 选取其上的点 , 考虑开邻域在 下的轨道, 会得到所有足够接近渐近线的第一类轨道, 以及去掉原点的 轴本身.
现在你们能看出这个空间不是 Hausdorff 的了吗? 第二类轨道和第三类轨道永远无法使用开集分离. 这有些像 和 通过一种丑陋的方式重叠在一起, 变成 “以一个点和一条 为原点的平面” (实际上, 就是把二者的 部分粘合在一起). 这就是手软只删去原点的代价.
相对来讲, GIT 商的做法就要狠心地多: 既然你们两个无法分开, 那我只要其中的一个不就好了? 这有点像一个天平, 当天平往左倾斜 ( 为恒等或正次方) 时, 我们选择丢掉 轴上的那个轨道, 暴露出 的结构; 而当天平往右倾斜 ( 为取逆或负次方) 时, 我们选择无情丢掉 平面内的所有轨道, 只留下一个 的结构. 但无论如何, 我们最终的结果永远是 Hausdorff 的, 这就足够了.
(1,1,-1,-1)
考虑 通过如下的方式作用在 上:
我们先来分类它的所有轨道.
- 如果 , 那么它的轨道只有原点, 是闭的;
- 如果 但 , 那么它的轨道是一条落在平面 内的去掉原点的直线 , 不是闭的, 闭包里有唯一闭轨道 (极限 );
- 如果 但 , 那么它的轨道是一条落在平面 内的去掉原点的直线 , 不是闭的, 闭包里有唯一闭轨道 (极限 );
- 如果 且 , 那么它的轨道是一条落在平面 内的双曲线, 是闭的 (不存在有限的极限).
所有不变函数由 生成, 而此时它们满足关系 , 所以范畴商为这里 . 它实际上是 Segre embedding 的像的仿射锥, 在原点处有一个奇点. 记 .
下面考虑 GIT 商. 选定特征 为恒等映射, 不难计算得到特别的, , 所以半稳定点集为由于作用不自由的点只有原点, 它已经被剔除, 所以根据 Corollary 2.2.6, 多稳定点集和稳定点集也都是一样的, 即所有轨道都是闭轨道, 并且 GIT 商 光滑. 结合它到范畴商 有一个射影态射, 我们知道前者给出了后者的一个消解.
结合之前分析过的轨道, 我们知道此时 的点集应该是: 对于每个方向 , 任一 都对应唯一一个轨道 , 所以我们应该期望它是 上某个秩为 的向量丛的总空间.
下面我们来验证这个猜想. 我们直接写出半不变函数的生成元. 有可以证明 满足关系 . 由于 是正次数的生成元, 给出了 的开覆盖.
经过简单的计算, 我们知道而在二者的交 上, 坐标的变换规则为第一个坐标的粘合给出一个 , 后两个坐标由于乘的是对面坐标的 次方, 所以给出两个 . 因此,
一件值得注意的事情是: 关系 貌似没有用处. 实际上确实是这样的, 后两个关系可以消元得到 和 , 所以对于次数至少为 的半不变函数, 关系 是自动成立的. 根据一个经典的结论: 如果分次环同态 在足够高次之后是同构, 那么它就诱导 之间的同构. 因此, 我们可以把 这个关系去掉, 而不影响 GIT 商的结构, 此时 的重言结构就会看得更清楚.
范畴商在原点处没能成功分离前三类轨道, 而此时的 GIT 商去掉了前两类, 所以成功分离了第三类轨道. 也就是说, 此时的态射 在原点处的纤维是 , 而在其他点处的纤维都是单点, 是一个奇点消解.
完全类似的, 如果我们选定特征为取逆 , 那么 和 的地位将会对调, GIT 商 依然是 上 的全空间, 只不过这里的 是由 的方向给出的, 而不是由 的方向给出的.
(1,1,-1,-1) 与爆破
说到奇点消解, 最熟知的手段当然就是爆破 (blow-up). 下面我们来验证一下, 上面得到的 GIT 商 是否是 在原点处的爆破.
因为 是 在 中的仿射锥, 它在原点处的爆破自然就是重言丛 限制在 上的全空间, 也就是 . 自然的态射在原点处的纤维是一个曲面 , 而在其他点处的纤维都是单点. 这与我们之前得到的 GIT 商 的纤维情况不一样, 所以它们并不相同.
像 这样的, 奇点纤维的余维数至少是 的奇点消解, 在代数几何中有一个专门的术语叫做小消解 (small resolution). 事实上这就是最经典的小消解的例子.
为了更具体地研究这几个空间的关系, 我们记 确定的 为 , 记 确定的 为 . 考虑的零截面 , 如果我们沿着它做爆破, 直观上可以想象它变为了 上的 -纤维丛, 而这个纤维本身也要经过 的扭转. 把从向量空间中爆破出的 也拿到底空间, 仔细计算剩余线丛的扭转, 我们就会得到换句话说, 对 沿着原点纤维里的 方向做 blow down, 就会得到 ; 而对 沿着原点纤维里的 方向做 blow down, 就会得到 .
(我有些好奇这和 toric variety 里, 一个正方形的两种三角剖分的 flop 有什么关系. 你们谁学会了可以教我)
一般线性群作用在线性空间上
Hom(V,W)
设 , 群 通过右乘逆作用在 上, 并且 . 因为 , 我们知道 的所有一维特征都是 的形式, 其中 . 根据最经典的几何不变量结论,其中 是由 指定的行构成的子矩阵行列式函数. 对于 和 , 有所以每个 都是次数为 的半不变函数.
对于范畴商 (), 此时不变函数只有常函数, 所以结果非常平凡, 就是 . 对于 , 结果则为 .
下面我们考虑 的情况. 由于 是半不变函数, 所以 由所有 生成. 因此, 半稳定点集为使得所有 不全为零的点集, 也就是所有满秩矩阵的集合. 因为我们要求行数 大于等于列数 , 我们可以选出一个可逆的子阵 , 如果 , 那么考虑 即可给出 , 因此 都是满秩矩阵, 商出来的空间也必然是光滑的.
那么还剩的问题就是, GIT 商 究竟是什么? 答案就是 Grassmannian . 这是因为 的 Plücker embedding 给出了一个 中的代数簇, 它的齐次坐标环正是由所有 生成的. 也就是说, 我们有
在这个例子中, 我们终于能见到 Remark 2.2.1 中提到的现象了. 在我们的情况下, 特征 的核就是 , 先对 做范畴商 , 得到的结果是 的仿射锥, 而剩余的 作用在商上就是沿着 的缩放作用, 唯一的不动点也只有原点, 所以 GIT 商 就是这个仿射锥去掉原点后的 -商, 也就是 .
二元四次型
半不变量
另一个值得一提的例子是 作用在 上, 也就是二元四次型的空间. 方便起见, 我们做系数归一化这里 是两个坐标函数. 做换元 , 那么二元四次型就变成了限制在二次锥面 上的二次型因为它限制在二次锥面上, 给它加上常数倍的 不会改变它的限制, 所有满足限制相同的二次型可以用矩阵表示为简单的计算告诉我们
对于 , 它会把 送到 , 于是不难计算得到由于这个作用的来源, 它一定保二次锥面, 所以在二次型 上的作用为 , 计算次数可知只能是 . 同时, 容易证明 . 实际上这就是经典的 映射的来源.
与此同时, 会把整个二次型 变为两边取行列式, 得到对比 的系数即得也就是说, 是两个次数分别为 的半不变函数. 我们不会证明二者生成了所有半不变函数, 但这确实是一个经典结论.
稳定点集
下面我们来考虑这个作用的半稳定, 多稳定和稳定点集. 为了方便起见, 我们把二元四次型写成其中 是四个根的齐次坐标. 当然这样的表示不一定是唯一的.
如果 有一个至少三重的根, 那么我们可以选取 把这个根送到 , 此时 形如 , 也就是 , 于是 , 所以 . 因此, 如果 有一个至少三重的根, 那么它不可能是半稳定点.
如果 至多有二重根, 那么我们可以选取 把一个根送到 , 另一个根送到 , 此时 形如 , 并且 不同时为 , 也不同时为 . 此时我们可以直接计算出若 , 那么 给出 ; 若 , 解方程组 会得到 , 矛盾. 因此, 如果 至多有二重根, 那么它一定是半稳定点.
该如何具体区分出其中的多稳定点和稳定点呢? 对于 , 可以按照根的情况分为以下三种情况:
- 四个根两两不同. 如果 , 那么 必须置换四个根. 而熟知 作用在 上是严格 -可迁的, 也就是被三个点的像唯一确定, 所以这样的 至多有 个, 是有限的. 这就说明了, 如果 有四个不同的根, 那么它一定是稳定点.
- 有两个二重根. 不妨设 . 它的稳定子群为 , 不是有限的, 所以它不可能是稳定点. 但它的轨道是闭的: 这是因为, 如果我们要改变这两个根的位置, 那么唯一的退化情况是两个根重合, 此时 有了一个四重根, 掉出了半稳定点集. 因此轨道在半稳定点集内是闭的, 所以它是多稳定点.
- 有一个二重根和两个一重根. 不妨设 . 我们可以用 中的元素拽着 这个根慢慢挪到 , 这样 在 处也有了二重根, 从而变到了第二种情况. 我们也可以显式地使用 作用上去, 并令 来删掉多余的 项, 得到 . 因此它的轨道闭包里包含了其他轨道, 所以它只是半稳定点, 不是多稳定点.
此时我们终于可以给出 GIT 商的完整描述. 取 . 由于 生成了所有半不变函数, 并且次数分别为 , 所以 GIT 商为对于 中的点 , 它在商映射下的像由齐次坐标 给出. 注意到 恰好是 的判别式, 所以稳定点集 被打到 之外的点, 而严格多稳定点集 被打到 上.
关于这些例子, Mukai 的书 An Introduction to Invariants and Moduli 里有更多更详细更进阶的讨论. 看目录是一本非常好的书, 推荐还有精力的大家阅读 (虽然我没有读).