本系列文章将会是 Ginzburg 的 Lectures on Nakajima’s Quiver Varieties 的学习笔记. 上一篇: Nakajima 箭图代数簇学习笔记 - 二又四分之一
这篇文章会继续 Schur 根和相关结论的讨论.
Schofield (1992)
箭图 Grassmannian
定义
对于一个箭图表示 , 它包含两部分数据: 顶点上的向量空间 和箭头上的线性映射 . 对于一个维数向量 , 我们可以定义函子 为
下面我们考虑概形 , 它已经表示了所有的满足 的子丛. 对每个 , 我们有自然的正合列
这里 是 上的重言子丛, 是重言商丛. 如果有箭头 , 那么我们有自然的映射
想要第一行 的纤维 被 送到第二行 的纤维 里, 我们只需要要求丛映射在 上消失; 等价的, 丛映射 可以被视为一个截面 , 而一点处消失当且仅当该点在零点集上.
因此, 函子 被闭子概形所表. 我们称这个概形为箭图 Grassmannian (quiver Grassmannian). 它在一些情况下既不光滑, 也不不可约, 甚至有时候不约化, 但它至少是射影的.
切空间
现在我们选定一个点 , 并记 . 根据定义, 一个 -概型 的切丛就是它的 -点的集合, 一点处的切空间就是该点的原像. 显然其中的点都形如 , 其中 是一个从 到 的同态. 而 是由所有截面 定义出的闭子概型, 具体代入表达式可以算出此时截面的无穷小项为于是切向量 落在 中, 等价于要求 是一个箭图表示的同态. 这样我们就得到了更进一步的,
关联概形
定义
只考察一个单独的箭图 Grassmannian 其实不是一个好主意, 尤其我们现在已经在考虑一般的表示. 一个更自然的想法是把它们做成一个族, 即所有二元组 构成的概型. 考虑那么对于每个 , 我们都可以把 上面的重言丛 拉回到 上, 并且用 中的数据定义丛映射不难验证, 这些丛映射的公共零点集就是所有二元组 的集合, 其中 是 的维数为 的子表示. 于是我们得到了一个闭子概形 , 称为关联概形 (incidence variety). 它的纤维就是箭图 Grassmannian, 即
它的性质远好于箭图 Grassmannian, 体现在 是一个向量丛. 这是因为在我们固定每个 的子空间 和商空间 后, 可以写成分块矩阵的形式而在这组坐标下, 丛映射就是左下角的块, 对其他块没有约束, 所以纤维是一个秩为的向量丛. 因此, 是一个向量丛的全空间, 自然是光滑且不可约 (因为底空间不可约) 的, 维数为
切空间和切映射
记 和 . 取定一点 并令 , 映射 在 处的切映射可以写为而 作为 的由 定义的光滑闭子概型, 计算 的无穷小项, 我们有注意到条件的后半恰好是正合列的映射 , 所以 当且仅当 .
设 . 下面我们证明 实际上可以扩充成类似的正合列由于 , 一方面, 就是所有 的点, 而这当然同构于 , 于是我们得到了正合列的前半部分. 另一方面, 对任意 , 它在 的像集中当且仅当 在 的像集中. 由于 是个满射, 我们有 .
一般子表示
Schofield 给出了一般表示何时有固定维数向量的子表示的判据.
Theorem (Schofield 1992). 设 是一个箭图, 是两个维数向量, 记 . 那么下面三件事等价:
- (a) 对于一般表示 , 它有一个维数向量为 的子表示;
- (b) 对于所有表示 , 它有一个维数向量为 的子表示;
- (c) .
对任何一种情况, 我们记 .
Proof. 之前我们定义了关联概型 , 它在 上的纤维就是箭图 Grassmannian, 而像集 就是所有具有维数向量为 的子表示的表示. 由于 投射, 而 是闭子概型, 所以像集是闭的. (a) 说的是像集包含一个稠密的开集, (b) 说的是像集是整个空间, 二者自然等价.
现在证明 (b) 和 (c) 等价.
假设 (b) 成立, 那么由于 是满射, 而 光滑, 所以存在 的稠密开子集, 使得 在该开集上是光滑的. 特别的, 存在点 使得 是满射, 此时 . 这就证明了 (c).
反之, 假设 (c) 成立, 那么存在 和 使得 . 考虑 , 那么在 处, 切映射 是满射, 于是 的像集包含 的一个开邻域. 这就证明了 (b).
Schur 根判据
紧接着, Schofield 给出了一个基于一般表示的 Schur 根判据.
Theorem (Schofield 1992). 设 是一个箭图, 是一个维数向量. 定义 . 那么 是 Schur 根当且仅当对于所有 满足 , 都有 .
Proof. 若 是 Schur 根, 设 , 记 . 于是对一般表示 , 我们有正合列根据刚才的定理, 我们有 , 所以 . 同时, 如果有非平凡的 , 那么 就是一个非平凡且幂零的自同态, 与 矛盾. 因此 , 即 . 实际上等号无法取到, 否则一般表示都可以分解. 于是我们有反之, 若 不是 Schur 根, 那么一般表示都可分解. 典范分解给出 且 , 从而所以肯定不会有二者同时为正.
King (1994)
在 笔记 - 二 中, 我们最后提到了: 由于稳定子群的连通性, 如果一个表示 是稳定的, 那么 , 用我们的语言也就是它是 Schur 表示, 从而 必须是 Schur 根. Schofield 的结果给出了反向的结论: 如果 是 Schur 根, 那么我们可以取 , 此时一般表示关于 是稳定的. 注意我们这里要求箭图 无有向环. King 正是在提出他的稳定性的那篇文章里, 建立了与 Schur 根的联系.
Theorem (King 1994). 设 是一个无有向环的箭图, 是一个维数向量. 存在 使得 , 当且仅当 是 Schur 根.
在下一篇文章中, 我们将会计算一些例子.