纤维积是逐纤维的乘积

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纤维积是逐纤维的乘积.

我在不同的场合说过很多次这句话, 这里我依然要说. 当时学代数几何 I 的时候, 对映射的 fiber 的定义比较困惑, 思考一段时间后发现原来是这个道理.

纤维积的定义是: 对于两个映射 , 如果存在另一个空间 以及两个映射 , 使得下图交换:

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\usetikzlibrary{cd}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\begin{tikzcd}
	Z & Y \\
	X & S
	\arrow[from=1-1, to=1-2]
	\arrow[from=1-1, to=2-1]
	\arrow[from=1-2, to=2-2]
	\arrow[from=2-1, to=2-2]
\end{tikzcd}
\end{document}

并且满足如下的泛性质: 对于任意空间 以及映射 使得下图交换:

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\usetikzlibrary{cd}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\begin{tikzcd}
	W & Y \\
	X & S
	\arrow[from=1-1, to=1-2]
	\arrow[from=1-1, to=2-1]
	\arrow[from=1-2, to=2-2]
	\arrow[from=2-1, to=2-2]
\end{tikzcd}
\end{document}

都存在唯一的映射 使得下图交换:

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\usetikzlibrary{cd}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\begin{tikzcd}
	W \\
	& Z & Y \\
	& X & S
	\arrow[dashed, from=1-1, to=2-2]
	\arrow[from=1-1, to=2-3]
	\arrow[from=1-1, to=3-2]
	\arrow[from=2-2, to=2-3]
	\arrow[from=2-2, to=3-2]
	\arrow[from=2-3, to=3-3]
	\arrow[from=3-2, to=3-3]
\end{tikzcd}
\end{document}

那么我们就说 是 和 关于 的纤维积, 记作 , 此时我们也称一开始的交换图为一个 Cartesian diagram. 当 为终对象时, 纤维积就退化为普通的乘积.

对于集合的范畴, 纤维积总是存在的. 实际上, 如果设 , 那么纤维积 可以显式地构造为即使 , 纤维积依然存在, 只是此时纤维积是空集.

对于拓扑空间的范畴, 我们可以同样构造, 并让它继承 的子空间拓扑. 对于概型的范畴, 纤维积也是存在的, 但构造要复杂一些, 这里不展开讨论. 实际上, 对于概型之间的态射, 我们反过来通过纤维积来定义纤维: 对于 和 , 我们定义 在 处的纤维为 , 其中 是点 处的剩余域, 而 是由包含映射 诱导的态射.

那我们开头说的那句话是什么意思呢? 如果我们把 都视为 “ 上的空间” (或者说, 由 中的点参数化的一族空间), 那么得到的 也是 “ 上的空间”, 并且它在每个纤维上的表现就是 和 在对应纤维上的乘积.

在集合和拓扑空间层面, 这个说法是显然的. 设 , 那么 在 处的纤维就是 , 同理 在 处的纤维是 . 那么根据我们的构造, 在 处的纤维就是乘积 .

概型比拓扑空间多了很多额外结构, 如每个点上配备的到底是哪个域作为函数环. 下面我们来给一个更精确些的描述.

Lemma. 对于态射 和点 , 有同构其中 为拓扑空间之间的映射. 也就是说, 纤维的底拓扑空间就是拓扑空间层面的纤维.

Proposition. 纤维积 中的点 , 一一对应到四元组 , 其中 满足 , 且 是环 中的一个素理想.

Proof. 见 这个 MSE 回答.

看一些具体的例子会很有帮助:

  • 比如我们考虑 的两个开子集 , 那么 . 这说明纤维积可以作为交集的推广. 这对我们理解 étale site 与一般的 Grothendieck 拓扑, 以及一些下降理论 (descent theory) 至关重要.
  • 比如我们考虑双原点的直线 , 它有显然的到普通直线 的映射, 那么 就是四原点的直线. 这给出了一个不可分的态射的例子.
  • 比如我们考虑 , 它作为两条相交直线的并, 可以自然投影到 (通过 ), 而它和自己的 copy 关于 的纤维积就是 , 它就是一条直线与一个平面的并, 它在 处的纤维 (平面) 就是两条直线的乘积.
  • 比如我们考虑 的 nilpotent cone , 以及它的 Springer resolution . 熟知它在 处的纤维是 , 而在别的地方都是双射. 那么所谓的 Steinberg variety 就是在每个纤维上取乘积, 因此它在 处的纤维是 , 而在别的地方依然是一个点. 两部分都是复二维的, 这其实暗示了 Steinberg variety 会分解为一些 conormal bundle 的无交并. 这也是我们接触的第一个 semismall map 的例子, semismall map 简单来讲就是 不会有太大的纤维, 以至于 的维数不会超过 .

这个观点作为本栏目的第一篇文章, 希望能给大家留下深刻印象. 纤维积作为代数几何中的基本构造, 在很多地方都会用到, 希望大家能牢牢记住它不过是逐纤维的乘积这个事实.