一些有趣的主题 - Diophantine 三元组

最近开始打算出 节的题, 在整理曾经看过的页面, 发现之前看过很多 Diophantine 组相关的东西, 于是又复习了一下. 在过程中发现了有趣的结果, 整理出来.

一个Diophantine 元组是 个正整数 , 满足对任何 , 都有 是完全平方数. 最著名的例子是 , 如果大家对数学史比较了解, 可能会听过 Euler 注意到能添加一个有理数 使得 成为一个 (有理的) Diophantine 五元组. 2016 年, Bo He, Alain Togbè 和 Volker Ziegler 证明了不存在 Diophantine 五元组¹.

1998 年, Kiran S. Kedlaya 证明了一个奇妙的 Diophantine 三元组判别法²:

定理 (Kedlaya, 1998)
设 是正整数, 那么 是完全平方数, 当且仅当 都是完全平方数.

证明的主要思路是无穷递降法:

证明
假设存在 使得 是完全平方数, 但 中至少有一个不是完全平方数. 取其中使得 最小的一组, 不妨设 , 考虑整数

我们将会证明 , 并且 也满足题设条件, 从而得到矛盾.

首先, 注意到 满足方程

它可以变形为

利用第一个式子, 我们可以得到 , 即 . 而显然 (否则 ), 因此 . 容易验证 时, 均为完全平方数, 矛盾. 因此 .

将第二个式子和第三个式子相乘, 得到 是完全平方数. 又因为 是完全平方数, 因此 也是完全平方数.

分别利用第二个式子和第三个式子, 可以得到 是完全平方数当且仅当 是完全平方数, 是完全平方数当且仅当 是完全平方数. 而已知 不全是完全平方数, 所以 也不全是完全平方数.

最后, 根据 Vieta 定理, 如果设另一个根为

那么我们就有

所以 . 这就完成了证明.

巧合的是 (也许并非巧合), 构造

也是 He, Togbè 和 Ziegler 在证明不存在 Diophantine 五元组时使用的构造. 这个说不定和某些 cluster 结构有关, 并且目前的一个 open problem 就是: 是否对于每个 Diophantine 四元组 , 如果 , 就有

目前还没有找到反例.

¹. Bo He, Alain Togbè and Volker Ziegler, There is no Diophantine quintuple, Transactions of the American Mathematical Society, vol. 371, no. 9 (1012), 2018, pp. 6665-6709. DOI: 10.1090/tran/7573. (Preprint) arXiv:1610.04020v2. ↩

². Kedlaya, Kiran S. When Is (xy + 1)(yz + 1)(zx + 1) a Square? Mathematics Magazine, vol. 71, no. 1, 1998, pp. 61-63. DOI: 10.2307/2691347. ↩