北大数院高代期末压轴题解答

在豌豆的新文章[^1]里看到了隔壁的卷子, 最后一题是一个多项式问题:

设 , 为任意域,设 为 次首一多项式, 定义 为证明

我个人对豌豆的两个初等做法不太感兴趣, 所以尝试寻找一个高级观点下的证明. 第一件事当然是把行列式实现成外代数, 也就是考虑 或 上的变换. 如果取 的一组基 , 那么 就可以诱导但这个直接的思路有一个问题, 那就是如果我们一直把 或 当成 -线性空间的话, 不好处理 作为环的 这个操作, 于是就卡在 中, 回不到 了.

该如何在外代数的框架下实现取余式呢? 最简单的想法是 , 但这只能模掉常数倍的 . 既然如此, 我们再加一个 , 二者一结合, 不就有 了吗? 也就是说, 只要我把所有可能的 都乘上去, 那么它们就能张成整个 , 从而可以随意取模. 又注意到每个 的次数都至多是 , 因此我们最多也只用包含 的项. 既然这样, 我们也不用再取一般的 了. 这启发我们直接考虑一方面有另一方面也有所以又题目中的 是偶数, 故 .

实际上, 根据 的形式, 就是结式 , 根据对称性即得 . 这再次印证了 的正确性.

[^1]: https://zhuanlan.zhihu.com/p/20348894884.