本系列文章将会是 Ginzburg 的 Lectures on Nakajima’s Quiver Varieties 的学习笔记. 开这个坑的原因是我最近想写箭图表示的小文章, 但突然发现我有很多关于模空间的东西完全没搞清楚. 反正讨论班的讲义也是这个, 无论如何都要学的. 你先别问 BFN 去哪了
这篇文章的内容是范畴商和 GIT 商 (2.1-2.2 节).
范畴商
对于仿射代数簇 和约化代数群 , 我们都知道范畴商 (categorical quotient) 的定义是 , 满足泛性质: 对任何 -等变的态射 , 都能唯一地分解经过商映射 .
它大部分时候是足够好用的, 但有些时候不是, 尤其在轨道的表现不好的时候. 比如 通过数乘作用在 上, 轨道是所有过原点的直线去掉原点, 以及原点本身. 一个 -不变的函数是一个零次齐次函数, 而它在原点也要有定义, 所以只能是常值, 故 .
这个问题对研究箭图表示的模空间带来了很大的麻烦. 设 是一个箭图, 是一个维数向量, 那么所有维数向量为 的表示的集合可以视为一个仿射空间通过群共轭作用. 两个表示同构当且仅当它们在 中属于同一个轨道.
于是我们自然考虑范畴商 , 希望它至少能给出一点关于表示的信息. 但一个经典的结果是:
Theorem (Le Bruyn-Procesi). 表示空间 上的 -不变函数是由所有闭环的迹生成的.
所以, 如果我们只关注最简单的 Dynkin 图, 乃至普通的有向无圈图, 得到的结果都只会是一个点. 这显然不是我们想要的.
GIT 商的定义
究其原因, 不难发现范畴商的原罪是它只考虑在一个轨道上取常值的函数, 所以只要有轨道的闭包里包含了另一个轨道, 那么它们就无法被区分开来. 对此, Mumford 提出了一个巧妙的解决方法. 他不只考虑在轨道上取常值的函数, 而是允许轨道里的函数值随着基点变化, 只是这个变化要与基点的变化一致.
选定 的一个一维特征 (群同态) , 考虑 在 上的作用因为 本身就有关于 的分次结构, 所以我们可以考虑 -不变部分 , 它也自带一个分次结构.
这里面的一个函数长什么样呢? 假设 , 那么它可以写成而 -不变性意味着 . 将其展开可得所以 (我严重怀疑讲义这里差了个逆). 我们称这样的函数为度 的 -半不变函数 (-semi-invariant function), 全体记为 . 我们也写 . 这样一来, 的分次就可以写为方便起见, 记 .
定义 GIT 商 (Geometric Invariant Theory quotient) 为射影概型 . 不难看出, 如果 是约化/不可约的, 那么 也是约化/不可约的.
注意到 , 我们有嵌入 , 所以它诱导一个射影映射 . 如果 是平凡的, 那么 , 所以 , 所以范畴商是 GIT 商的一个特例.
线丛表述
我们也可以用另一种看起来更高大上的写法. 对于 -簇 , 其上的一个线性化 (linearization) 是一个配备了 -作用的线丛 , 使得投影映射 是等变的, 并且逐纤维线性. 一般我们假设这样的线丛 也是丰沛的. 对于这样的线性化, 我们定义 半稳定 (semi-stable) 的点为并定义 GIT 商为此时, -不变的全局截面 取代了 -半不变函数 的地位.
我们可以考虑平凡线丛 , 并手动选取作用为乘特征, 还原回半不变函数的定义. 也许在其他地方 (如 是射影代数簇时) 我们需要考虑一些 之类的线丛, 这时就需要用到线丛表述才能给出正确定义. 但我们讨论的都是仿射代数簇, 此时平凡丛完全够用, 短时间应该用不到这种表述, 所以就不继续讨论了.
GIT 商态射
对于普通的范畴商, 我们有自然的商映射 , 由函数环的嵌入 给出. 而 GIT 商 则是由分次环 的射影化给出, 我们一时不好看出它和 的联系.
但射影化给了我们一些启发. 对比 中的点都来自 中, 所有坐标不全为 的点. 对每一个这样的点, 我们在 里面取在该点消失的所有函数构成的齐次理想, 从而得到 中的点作为它的像.
既然如此, 由于 本身已经是 的子环, 我们不妨考虑 中对所有 中的函数值不全为 的点. 我们称这样的点为 -半稳定 的:这是一个 Zariski 开子集. 此时我们便期望, 按照同样的方法, 我们能得到一个良定义的态射 .
对于 , 我们先在每个局部 上定义态射. 记仿射局部这里 是零次局部化, 其中的元素都形如 , 其中 也是齐次的, 并且 . 我们可以定义一个同态它诱导一个态射 . 另一个显然的事情是: 因为 , 所以 .
它在点 上的映射就是把 中的, 在 上消失的函数的理想拉回到 上 (取交集), 所以 .
这些 能粘合是自然的, 可以验证 . 因此, 我们得到了一个全局态射
半稳定, 多稳定与稳定
注意到这些局部 实际上都是范畴商 , 而范畴商是好商, 所以 也是好商.
一个 -等变的态射 被称为好商 (good quotient), 如果
- 仿射, 满
- 对于 -不变闭子集 , 有 也是闭的, 并且
- .
范畴商是好商是一个比较标准的事实.
是好商立刻说明: 对于 的每个几何点, 原像中都包含唯一的闭轨道 (在 的子空间拓扑下), 并且 的非闭轨道会被打到 中的泛点, 闭包也只包含唯一的几何点; 两个轨道的像包含同一个几何点, 当且仅当两个轨道的闭包交集非空. 把讲义中 Theorem 2.2.4 前面最后那句话的 maximal 去掉就好了.
我们据此定义 -等价 (S-equivalence): 两个半稳定点 是 S-等价的, 如果它们的轨道闭包 在 中有交集. 于是 GIT 商 的几何点一一对应到 的 S-等价类. 一个点 是多稳定 (polystable) 的, 如果它的轨道 是闭的, 这样的点记为 ; 一个点 是稳定 (stable) 的, 如果它的稳定子群 是有限的, 这样的点记为 . 于是我们有包含关系根据定义, 就是所有几何点的原像, 而 的纤维的维数都是满的. 实际上 也是 的一个 Zariski 开子集.
没想到一天能学这么多. 明天开始写 King 稳定性