本系列文章将会是 Ginzburg 的 Lectures on Nakajima’s Quiver Varieties 的学习笔记. 上一篇: Nakajima 箭图代数簇学习笔记 - 一
这一篇将会是一些例子的计算.
有限群的作用
对于正整数 , 如果我们选定特征为 , 那么度为 的半不变函数就是 次齐次函数, 也就是把 中次数被 整除的部分拿出来做成一个新的分次环 . 根据熟知的结论, 二者的 Proj 是同构的 (可以从 Veronese 嵌入理解), 所以这件事在上次没有提到, 这里补充一下.
如果我们直接把这套理论照搬到有限群上, 会发生什么呢? 答案是它与范畴商没有任何区别. 这是因为, 对于有限群 的任何一维特征 , 都有 . 也就是说, 如果我们只考虑 -次的 -半不变函数, 它们就是 -不变函数, 所以
这件事应该被理解为: GIT 商与范畴商的不同在于它剔除了一些轨道, 但在有限群的情况下, 所有轨道都是闭的, 没有轨道的闭包会包含其他轨道, 所以不需要剔除任何东西, 自然给出一样的商.
乘法群作用在线性空间上
普通的数乘
最简单的例子当然是 通过数乘作用在线性空间 上:之前我们已经提到过了, 这个作用的范畴商是一个点, 因为零次齐次函数只有常数.
下面我们考虑 GIT 商. 选定特征 为恒等映射, 那么度为 的半不变函数就是 次齐次函数:所以, 作为分次代数同构, 因此此时显然有 . 根据 Veronese 嵌入, 对于任意正整数 , 也有 .
反之, 如果我们选定特征为取逆 , 那么度为 的半不变函数就是 次齐次函数, 如果 则不存在这样的函数, 所以 , 因此此时则有 . 类似的, 对于正整数 , 也有 .
不同的权重
(1,-1)
同样先拿最简单的情况开刀. 考虑 通过如下的方式作用在 上:此时 生成了所有不变函数, 所以范畴商 . 对于非零的 , 它的原像是闭轨道 ; 而对于 , 它的原像则是 , 是两个非闭轨道 和闭轨道 的并.
下面考虑 GIT 商. 选定特征 为恒等映射, 那么度为 的半不变函数 就是满足的函数. 展开成多项式, 可知 的每项里, 的幂次都要比 的幂次多 , 所以也就是说, , 这里 被视为零次的, 分次只由 给出. 因此
下面我们来计算此时的半稳定, 多稳定和稳定点集. 此时 , 所以 当且仅当 , 即 .
多稳定比半稳定多了一个条件, 那就是 -轨道要闭. 我们分两种情况来检查:
- 若 , 那么轨道就是双曲线 , 它在 中已经是闭的, 并且不触及 的部分, 所以在子空间拓扑下它也是闭的. 所以 .
- 若 , 那么轨道就是去掉原点的直线 . 虽然它在 中不是闭的, 但它在 中是闭的, 所以 .
因此, 所有半稳定点都稳定, 即 . 显然此时每个点的稳定子群都是平凡的, 所以
对于非零的 , 它在 中的原像是闭轨道 ; 而对于 , 它在 中的原像是闭轨道 .
类似的, 如果我们选定特征为取逆 , 那么 和 的地位将会对调. 计算就不再重复了.
(1,1,-1)
考虑 通过如下的方式作用在 上:此时的不变量由 生成, 所以范畴商 . 对于非零的 , 它的原像是闭轨道 ; 而对于 , 它的原像则是 , 是两个非闭轨道 和闭轨道 的并.
下面考虑 GIT 商. 选定特征 为恒等映射, 同理可得 是度为 n 的半不变函数当且仅当 展开式中每项的 的总次数比 的次数多 , 所以这里 被视为零次的. 对于积累的例子不多的人 (比如我) 来说, 这个环的 Proj 可能不太好理解. 但我们可以用另一种方法来理解它. 注意到 满足唯一的关系 , 所以此时学好了代数几何一的人 (不包括我) 就能看出, 就是 在原点处的爆破, 或者说, 重言丛 的全空间. 也就是说,如果想更具体一些, 可以手动计算开局部的粘合, 并验证它与 的转移函数一致.
该如何理解这个结果呢? 计算完稳定点集们就会豁然开朗. 此时 , 所以 当且仅当 或者 , 即这是整个空间去掉 轴. 这里面有哪些闭轨道呢? 如果 , 那么轨道就是双曲线 , 是闭的; 如果 , 那么轨道就是去掉原点的直线 , 也是闭的. 因此, 所有半稳定点都是多稳定点和稳定点.
此时我们就能知道: 对于 中的点, 如果它不在爆破的例外除子上, 那么它有坐标 , 其中 是 的值, 对应轨道 ; 如果它在爆破的例外除子上, 那么它有坐标 , 对应轨道 . 类似的, 也可以用 的全空间来理解: 设点落在 的纤维 中, 如果它不在零点, 那么它有坐标 , 对应轨道 ; 如果它在零点, 那么它就对应轨道 .
在这种情况下, GIT 商捕捉了比范畴商更多的信息, 它成功分离了 平面上的不同轨道, 通过提前把原点扣掉, 让它们在 中有了不同的闭包. 此时自然的态射就相当于再把这些轨道做等同.
如果再考虑特征 , 此时的计算就和 (1,-1) 的情况类似了, 我们也可以先瞪出半稳定点集 , 所以此时剩下的是双曲线轨道 (闭) 和一条去掉原点的直线轨道 (闭) . 通过具体的计算不难再次验证此时有
(2,-1)
考虑 通过如下的方式作用在 上:不变函数由 生成, 所以范畴商 .
下面考虑 GIT 商. 选定特征 为恒等映射, 不难计算得到我们可以应用前面补充的技巧, 即取偶数次的 Veronese 子环 , 得到此时就有同样不难证明 .
类似的, 如果我们选定特征为取逆 , 那么我们都不需要应用技巧, 直接计算就能得到
态射 (1,1,-1) → (2,-1)
我们来考虑 -等变的态射 , 它诱导了同态 (清晰起见, 设 的坐标为 , 的坐标为 )对于范畴商, 取两侧 -不变的部分, 会直接给出对应的态射为
在 GIT 商上, 事情大体是类似的. 依然取 为恒等映射, 此时有分次环的同态而它只能诱导一个有理态射 , 即 .
有理的原因是对于分次环同态 , 要想 在 中对应一个点, 需要它不包含 , 所以只能得到态射 .
读者可以自行检查此时的定义域和态射, 并通过态射对比半稳定点集 , 思考它们之间的关系.
考虑到篇幅, 我们把更多的例子留给下次. 在我把下一坨文章拉出来之前, 大家可以先自己尝试考虑 通过如下的方式作用在 上:并思考如下的问题:
- 它的轨道分为哪几类? 闭/不闭情况如何?
- 它的范畴商是什么? 有奇点吗? 有什么样的奇点?
- 选定特征 , 其中 为恒等映射. 它的半稳定, 多稳定和稳定点集分别是什么?
- 它的 GIT 商是什么? (提示: 计算局部仿射开邻域的粘合. 答案是一个向量丛的全空间.) 是光滑的吗?
- 假设你已经验证了范畴商有唯一的奇点. 从 GIT 商到范畴商的态射, 在奇点处的纤维是什么?
- 范畴商在奇点处的爆破是什么? 此时 GIT 商还是范畴商在奇点处的爆破吗?
- [困难] 两种情况下的 GIT 商与在奇点处的爆破有什么关系?