二次互反律是数论中一个非常重要的定理, 它描述了两个不同的奇素数之间的二次剩余关系. 虽然这个定理有很多不同的证明方法, 但我想在这里展示: 只要你知道当时 Gauss 知道的事情, 你也能自己发现这个定理.
二次剩余基础
设 是一个奇素数. 我们考虑 的代数闭包 . 在这个域中, 每个元素都有一个平方根. 于是, 是 中的二次剩余, 当且仅当 落在 中.
我们知道 Legendre 符号 定义为:
Fermat 小定理告诉我们 时 , 所以 , 也就是在 中 . 根据 Frobenius map 的性质, 它等于 当且仅当 落在 中, 也就是 是二次剩余. 于是我们得到了一个非常重要的结论:
特殊数的二次剩余
根据上面的结论, 是模 的二次剩余当且仅当 是偶数, 也就是 . 同样的, 是模 的二次剩余当且仅当 是偶数, 也就是 . 这两个结论是非常经典的结果.
我们来看看 在 中的情况. 根据上面的结论, 是二次剩余当且仅当 ; 但这个计算根本就是没法进行的.
那怎么办呢? 我们能否直接得到 的表达呢? 答案是可以的, 这基于下面的非常巧妙的观察:
命题
取 次本原单位根 (即满足 ), 则 .
初看起来很奇怪, 但稍作思考就能确认它的正确性, 因为我们在复数中也有相同的事情, 而 肯定是不依赖于域的. 所以我们不需要计算 , 而是可以直接计算 . 它给我们带来了一个非常重要的好处: 我们可以利用 Frobenius map 是域的自同构这个性质了!所以, 当 时, 分子和分母一样, 当 时, 分子和分母相反. 于是我们得到了 是模 的二次剩余当且仅当 .
感兴趣的人可以在这里停下阅读, 手动利用三次单位根算一下什么时候 是模 的二次剩余, 或者利用五次单位根算一下什么时候 是模 的二次剩余.
构造平方根
我们看到, 如果能显式地构造出 , 那么我们就可以利用 Frobenius map 的性质化简 ; 如果我们还是用单位根凑出来的 , 就又可以用单位根的性质再次化简.
问题是: 该怎么找这样的构造呢? 如果你不从上面的计算找规律, 我们就要用到 Gauss 的一个非常重要的观察了. 设 是一个奇素数, 是一个 次本原单位根, 我们记显然 . Gauss 发现:
命题或者,
证明
我们直接计算 :作代换 , 就得到由于 是 次本原单位根, 当 时, 内层的和为 , 当 时, 内层的和为 . 于是
显然这件事不依赖于域, 所以我们在 中取 满足 , 也有依然记左侧括号内为 .
二次互反律
下面我们直接计算 Legendre 符号 . 它应该等于(关键一步) 利用 Frobenius map 的性质, 我们有 :再把 展开, 我们就得到了
定理 (二次互反律)
设 是两个不同的奇素数, 则